370年前，法国贵族梅雷骑士向当时闻名欧洲的数学家帕斯卡提出了这样一个问题：有两个人在做游戏，约定谁先能获胜五局，谁就能获得全部的500金币。

当游戏进行到一半时，甲赢了四局，乙赢了三局，但此时因为外界因素，他们不得不结束游戏开始分配彩头，赢了三局的人认为应该把金币平均分成七份，按每人赢得局数分得对应的金币，赢了四局的人认为自己还差一局就可以赢得游戏，但对方还需要赢两局，自己获胜的可能性更大，刚刚分配金币的方式并不公平。

梅雷骑士向帕斯卡请教：在这种情况下，如何才能更合理的分配金币？同学们可以先停留在这里想一想，要如何给这二人分配金币才更公平呢？

由于当时人们并没有形成系统的概率论知识，即使是当时公认的天才数学课帕斯卡也对当场解决这个问题毫无头绪，但他向梅雷骑士承诺他一定会解决这个问题。

此后，他向自己的好友费马写信描述了这个问题，在二人此后的通信中，他们通过讨论发现，无论是按已经有得赢数分配赌金，还是按未来赢四局的人赢得可能性更大分配金币，都不够公平。

费马指出，如果继续游戏下去，那么未来可能出现的结果有很多种，而每种指向的结果并不相同，出现的可能性也并不相同，也就是说，解决这个问题的关键并不在于现在甲和乙各赢了多少局，而在于他们还没有比赛的那些局的胜负，甲乙两人应该分得的金币和未来可能出现的结果相关，而和两人胜负的比例无关。

以刚刚的游戏为例，每个人获胜的概率都是0.5，那么未来如果继续玩两局，可能出现的结果有（以甲为例）：

在前两种情况中，都是甲获得全部的金币，而只有在最后一种情况，乙才会获得全部的金币。因此，他们得到的金币应与他们赢得比例联系起来，也就是“期望”。

所以甲获胜的期望是

同理乙获胜的期望是

因此，应该按照甲分375个金币，乙分125个金币来分配才更加公平。

但如果这个游戏比较长，那么列举所有的可能性的计算量就会很大，针对这个问题，帕斯卡继续研究，进而提出了一个简化算法解决了这一点数分配问题。

在二人的研究中，帕斯卡提出了“数学期望”的概念，还提出了“帕斯卡三角形”（即杨辉三角），虽然他们的通信当时并未引起太大的重视，但后面数学界公认概率论的开创者就是帕斯卡和费马。

到了19世纪，概率论发展为数学中枝繁叶茂的一门分支学科。现在，我们对今天的新概念——期望的定义再系统的学习一下：一个离散性随机变量的期望值(或数学期望，亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。